Question

5．已知θ∈（0°，360°），sinθ，cosθ是方程x²-mx+m+1=0的两个根，求角θ

Answer 1

分析 根据一元二次方程根与系数的关系，利用正弦和余弦的平方和为1，代入求解，注意角的取值范围，即可求出角的大小．

解答 解：θ∈（0°，360°），sinθ，cosθ是方程x²-mx+m+1=0的两个根，
∴sinθ+cosθ=m，sinθ•cosθ=m+1，
且m²-4m-4≥0，
解得m≤2-2$\sqrt{2}$或m≥2+2$\sqrt{2}$，
代入（sinθ+cosθ）²=1+2sinθ•cosθ，
得m²=1+2（m+1），
解得m=3（不合题意，舍去），或m=-1；
∴$\left\{\begin{array}{l}{sinθ+cosθ=-1}\\{sinθ•cosθ=0}\end{array}\right.$，
又θ∈（0°360°），
∴sinθ=0且cosθ=-1，得出θ=180°；
或sinθ=-1，cosθ=0，得出θ=270°；
综上，θ=180°或270°．

点评 本题考查了同角的三角函数的关系式与应用问题，解题时应根据正弦和余弦本身具有的关系和角的范围求出结果，是综合性题目．