Question

20．已知函数f（x）=|x+$\frac{1}{x}$|-|x-$\frac{1}{x}$|．
（1）求证：f（-x）=f（x）；
（2）画出y=f（x）的图象．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的定义域，判断f（x）的奇偶性；
（2）去绝对值符号求出f（x）的分段解析式，再分段作出函数图象．

解答 解：（1）f（x）的定义域为{x|x≠0}，
f（-x）=|-x-$\frac{1}{x}$|-|-x+$\frac{1}{x}$|=|x+$\frac{1}{x}$|-|x-$\frac{1}{x}$|，
∴f（-x）=f（x）．
（2）当$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-\frac{1}{x}≥0}\end{array}\right.$即x≥1时，f（x）=x+$\frac{1}{x}$-（x-$\frac{1}{x}$）=$\frac{2}{x}$，
当$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-\frac{1}{x}＜0}\end{array}\right.$即0＜x＜1时，f（x）=x+$\frac{1}{x}$+x-$\frac{1}{x}$=2x，
当$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{x-\frac{1}{x}≥0}\end{array}\right.$即-1≤x＜0时，f（x）=-x-$\frac{1}{x}$-（x-$\frac{1}{x}$）=-2x，
当$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{x-\frac{1}{x}＜0}\end{array}\right.$即x＜-1时，f（x）=-x-$\frac{1}{x}$+x-$\frac{1}{x}$=-$\frac{2}{x}$．
作出f（x）的函数图象如图所示：

点评 本题考查了函数奇偶性的判断，分段函数的图象，属于中档题．