Question

7．已知命题p：方程$\frac{x^2}{k-2}-\frac{y^2}{5-k}=1$表示焦点在x轴上的双曲线，命题q：?x∈（0，+∞），x²+1≥kx恒成立，若“p∨q”是真命题，“￢（p∧q）”也是真命题，求k的取值范围．

Answer 1

分析 求出两个命题为真命题时，k的范围，然后利用命题的真假，推出结果即可．

解答 （10分）解：p真时有：k-2＞0且5-k＞0  即2＜k＜5；（2分）
q真时：?x∈（0，+∞），x²+1≥kx恒成立，即：x+$\frac{1}{x}$≥k，因为x+$\frac{1}{x}$≥2在x＞0时恒成立，可得：k≤2    （5分）
由p∨q是真命题，且?（p∧q）也是真命题得：p与q为一真一假；（7分）
当p真q假时，2＜k＜5；
当p假q真时，k≤2；综上，所求k的取值范围是（-∞，5）．（10分）

点评 本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查．