Question

8．已知a=-2${∫}_{0}^{π}$sin（x+$\frac{π}{3}$）dx，求二项式（x²+$\frac{a}{x}$）⁵的展开式中x的系数及展开式中各项系数之和．

Answer 1

分析 利用微积分基本定理可得a，再利用二项式定理的通项公式及其性质即可得出．

解答 解：依题意，a=-2${∫}_{0}^{π}$sin（x+$\frac{π}{3}$）dx=2$cos（x+\frac{π}{3}）{|}_{0}^{π}$=2$（cos\frac{4π}{3}-cos\frac{π}{3}）$=-2，
∴二项式（x²+$\frac{a}{x}$）⁵=$（{x}^{5}-\frac{2}{x}）^{5}$，
展开式中x的系数及展开式中各项系数之和．
设展开式中含x的项是第r+1项，则T_r+1=${∁}_{5}^{r}$（x²）^5-r$（-\frac{2}{x}）^{r}$=（-2）^r${∁}_{5}^{r}$x^10-3r，
令10-3r=1，则r=3．∴展开式中x的系数是：${∁}_{5}^{3}（-2）^{3}$=-80．
令x=1，则二项式的展开式中各项系数之和是（1-2）⁵=-1．

点评 本题考查了微积分基本定理、二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．