Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，cosα），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{3}$，sinα）．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，求$\frac{cosα-sinα}{\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$的值；
（2）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，cos（α+β）=-$\frac{12}{13}$且α、β∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），求sin（β-α）的值．

Answer 1

分析 （1）根据向量的平行的条件得到tanα=$\frac{1}{3}$，再化简求值即可，
（2）根据向量垂直的条件得到sin2α=-$\frac{2}{3}$，再根据同角的三角函数的关系和两角和差的正弦公式即可求出．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（1，cosα），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{3}$，sinα），$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，
∴sinα-$\frac{1}{3}$cosα=0，
∴tanα=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{cosα-sinα}{\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$=$\frac{cosα-sinα}{sinα+cosα}$=$\frac{1-tanα}{tanα+1}$=$\frac{1-\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}$，
（2）∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
∴1×$\frac{1}{3}$+sinαcosα=0，
∴sin2α=-$\frac{2}{3}$，
∵α∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），
∴2α∈（π，$\frac{3π}{2}$），
∴cos2α=-$\sqrt{1-si{n}^{2}2α}$=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∵α、β∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），
∴α+β∈（π，$\frac{3π}{2}$），
∵cos（α+β）=-$\frac{12}{13}$，
∴sin（α+β）=-$\frac{5}{13}$，
∴sin（β-α）=sin（α+β-2α）=sin（α+β）cos2α+cos（α+β）sin2α=-$\frac{5}{13}$×（-$\frac{\sqrt{5}}{3}$）-$\frac{12}{13}$×（-$\frac{2}{3}$）=$\frac{24-5\sqrt{5}}{39}$

点评 本题考查了向量的平行和垂直的条件以及同角三角函数的关系和两角和差的正弦公式，属于中档题．