Question

20．已知三棱锥A-BCD中，AB=AC=BC=2，BD=CD=$\sqrt{2}$，点E是BC的中点，点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点，则该三棱锥外接球的表面积为$\frac{60}{11}π$．

Answer 1

分析 由题意，△BCD为等腰直角三角形，E是外接圆的圆心，点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点，利用勾股定理，建立方程，求出三棱锥外接球的半径，即可得出结论．

解答 解：由题意，△BCD为等腰直角三角形，E是外接圆的圆心，
点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点F，则BF=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴AF=$\sqrt{4-\frac{5}{4}}$=$\frac{\sqrt{11}}{2}$，
设球心到平面BCD是距离为h，则1+h²=$\frac{1}{4}$+（$\frac{\sqrt{11}}{2}$-h）²，
∴h=$\frac{2}{\sqrt{11}}$，r=$\sqrt{1+\frac{4}{11}}$=$\sqrt{\frac{15}{11}}$，
∴该三棱锥外接球的表面积为$4π×\frac{15}{11}$=$\frac{60}{11}π$．
故答案为$\frac{60}{11}π$．

点评 本题考查三棱锥外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定三棱锥外接球的半径是关键．