Question

8．如图，设正三棱锥P-ABC的侧棱长为l，∠APB=30°，E，F分别是BP，CP上的点，则△AEF周长的最小值为$\sqrt{2}l$．

Answer 1

分析 作出棱锥的展开图，利用数形结合思想能求出△AEF周长的最小值．

解答 解：作出棱锥的展开图．
△AEF的周长即为AE、EF、FA三者的和．
从图中可见：为使三角形AEF的周长的值最小，
只需让A、E、F、A'四点共线即可（形成图中蓝线形状）
根据题中给出的条件知：∠APB=∠BPC=∠CPA'=30°，
∴∠APA′=90°，
AA′=$\sqrt{{l}^{2}+{l}^{2}}$=$\sqrt{2}l$．
∴△AEF周长的最小值为$\sqrt{2}$l．

点评 本题考查三角形周长的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．