Question

14．已知离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点（0，-1），且F₁、F₂分别是椭圆C的左、右焦点，不经过F₁的斜率为k的直线l与椭圆C相交于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如果直线AF₁、l、BF₁的斜率依次成等差数列，求k的取值范围，并证明AB的中垂线过定点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知椭圆的离心率及短轴端点结合隐含条件求得a²=2，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m（m≠k），与椭圆方程联立化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0可得m²＜1+2k²．利用根与系数的关系得到A，B两点横坐标的和，结合${k}_{A{F}_{1}}+{k}_{B{F}_{1}}=2k$，得到x₁+x₂+2=0，进一步得到$m=k+\frac{1}{2k}$．代入m²＜1+2k²中即可求得k的取值范围；由$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-1$，得AB中点坐标为（-1，m-k），写出中垂线方程为：y-m+k=$-\frac{1}{k}（x+1）$．用m替换k，可得AB的中垂线方程为$y=-\frac{1}{k}（x+\frac{1}{2}）$．说明AB的中垂线过定点（-$\frac{1}{2}$，0）．

解答 解：（Ⅰ）由条件知$（\frac{c}{a}）^{2}=\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，且b=1，解得a²=2，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）令直线l的方程为y=kx+m（m≠k），
代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，得：（1+2k²）x²+4kmx+2（m²-1）=0．
由△＞0，得16k²m²-8（1+2k²）（m²-1）＞0，解得m²＜1+2k²．
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$．
由条件得${k}_{A{F}_{1}}+{k}_{B{F}_{1}}=2k$，即$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}=2k$，
∴$\frac{k{x}_{1}+m}{{x}_{1}+1}+\frac{k{x}_{2}+m}{{x}_{2}+1}=2k$，得（m-k）（x₁+x₂+2）=0．
∵m≠k，∴x₁+x₂+2=0，
即$\frac{-4km}{{1+2{k^2}}}+2=0$，∴$m=k+\frac{1}{2k}$．
将$m=k+\frac{1}{2k}$代入m²＜1+2k²中，
得$（k+\frac{1}{2k}）^{2}＜1+2{k}^{2}$，∴${k}^{2}＞\frac{1}{2}$，
则k∈（-∞，$-\frac{\sqrt{2}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{2}}{2}，+∞$）；
由上知，$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-1$，于是得AB中点坐标为（-1，m-k），
中垂线方程为：y-m+k=$-\frac{1}{k}（x+1）$．
将$m=k+\frac{1}{2k}$代入得：$y-（k+\frac{1}{2k}）+k=-\frac{1}{k}（x+1）$，
整理得：$y=-\frac{1}{k}（x+\frac{1}{2}）$．
故AB的中垂线过定点（-$\frac{1}{2}$，0）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题，考查等差中项的概念及基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，是中档题．