Question

2．函数f（x）=sin2x+2$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$，g（x）=mcos（2x-$\frac{π}{6}$）-2m+3（m＞0），若对任意x₁∈[0，$\frac{π}{4}$]，存在x₂∈[0，$\frac{π}{4}$]，使得g（x₁）=f（x₂）成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （1，$\frac{4}{3}$）
• B． （$\frac{2}{3}$，1]
• C． [$\frac{2}{3}$，1]
• D． [1，$\frac{4}{3}$]

Answer 1

分析 分别由三角函数求各自函数的值域，由集合的包含关系解不等式组可得．

解答 解：∵f（x）=sin2x+2$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$
=sin2x+$\sqrt{3}$（2cos²x-1）=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x
=2（$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）
当x∈[0，$\frac{π}{4}$]时，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴f（x）_min=2sin$\frac{5π}{6}$=1，∴f（x）∈[1，2]，
对于g（x）=mcos（2x-$\frac{π}{6}$）-2m+3（m＞0），
2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，mcos（2x-$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{m}{2}$，m]，
∴g（x）∈[-$\frac{3}{2}$m+3，3-m]，
∵对任意x₁∈[0，$\frac{π}{4}$]，存在x₂∈[0，$\frac{π}{4}$]，使得g（x₁）=f（x₂）成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}m+3≥1}\\{3-m≤2}\end{array}\right.$，解得实数m的取值范围是[1，$\frac{4}{3}$]．
故选：D．

点评 本题考查三角函数恒等变换，问题转化为求三角函数的值域并利用集合关系是解决问题的关键，属中档题．