Question

3．如图所示，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱垂直于底面，DB=BC，DB⊥AC，点M是棱BB₁上的一点．
（1）若DB=BC=CD，求BD与平面CDD₁C₁所成角；
（2）求证：MD⊥AC；
（3）是否存在点M，使得平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D？若存在，试确定点M的位置，并给出证明；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （2）根据直四棱柱的几何特征，我们易得BB₁⊥面ABCD，即BB₁⊥AC，又由BD⊥AC，线面垂直的判定定理，即可得到MD⊥AC；
（3）取DC的中点N，D₁C₁的中点N₁，连接NN₁交DC₁于O，连接OM．由N是DC中点，BD=BC，根据等腰三角形“三线合一”可得BN⊥DC，又由面ABCD⊥面DCC₁D₁，结合面面垂直的性质，可得BN⊥面DCC₁D₁，又由O是NN₁的中点，可得四边形BMON是平行四边形，所以BN∥OM，则OM⊥平面CC₁D₁D，由面面垂直的判定定理，即可得到平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D．

解答 （1）解：取CD的中点N，连接BN，则BN⊥CD．
∵直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱垂直于底面，
∴BN⊥平面CDD₁C₁，
∴∠DBN是BD与平面CDD₁C₁所成角，
∵DB=BC=CD，∴BD与平面CDD₁C₁所成角是30°；
（2）证明：因为BB₁⊥面ABCD，AC?面ABCD，所以BB₁⊥AC
又因为BD⊥AC，且BD∩BB₁=B，所以AC⊥面BB₁D
而MD?面BB₁D，所以MD⊥AC
（3）当点M为棱BB₁的中点时，平面DMC₁平面CC₁D₁D
取DC的中点N，D₁C₁的中点N₁，连接NN₁交DC₁于O，连接OM．
因为N是DC中点，BD=BC，所以BN⊥DC；
又因为DC是面ABCD与面DCC₁D₁的交线，而面ABCD⊥面DCC₁D₁，
所以BN⊥面DCC₁D₁
又可证得，O是NN₁的中点，所以BM∥ON且BM=ON，即BMON是平行四边形，所以BN∥OM，所以OM⊥平面CC₁D₁D，
因为OM?面DMC₁，所以平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D．

点评 本题考查的知识点是线面角，线面平行的判定定理，线面垂直的判定及性质，面面垂直的判定，熟练掌握直四棱柱的几何特征是解答本题的关键．