Question

19．如图，已知四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA₁=6，且A₁A⊥底面ABCD，点P，Q分别在DD₁，BC上，且$\overrightarrow{DP}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{D{D}_{1}}$，BQ=4．
（1）证明：PQ∥平面ABB₁A₁；
（2）求二面角P-QD-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）在AA₁上取一点N，使得AN=$\frac{2}{3}$AA₁，由已知可证四边形BQPN为平行四边形，从而证明PQ∥BN，即可判定PQ∥ABB₁A₁．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-QD-A的余弦值．

解答 证明：（1）在AA₁上取一点N，使得AN=$\frac{2}{3}$AA₁
∵DP=$\frac{2}{3}$DD₁，且A₁D₁=3，AD=6，
∴PN$\underset{∥}{=}$$\frac{2}{3}$AD，又BQ$\underset{∥}{=}$$\frac{2}{3}$AD，
∴PN$\underset{∥}{=}$BQ，
∴四边形BQPN为平行四边形，
∴PQ∥BN，
∵BN?平面ABB₁A₁，PQ?ABB₁A₁．
∴PQ∥ABB₁A₁．
解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
D（0，6，0），D₁（0，3，6），P（0，44），Q（6，4，0），A（0，0，0），
$\overrightarrow{DP}$=（0，-2，4），$\overrightarrow{DQ}$=（6，-2，0），
设平面DPQ的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=-2x+4z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DQ}=6x-2y=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，6，1），
平面ADQ的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角P-QD-A的平面角为θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{41}}$=$\frac{\sqrt{41}}{41}$．
∴二面角P-QD-A的余弦值为．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．