Question

数列{a_n}为等差数列，a_n为正整数，其前n项和为S_n，数列{b_n}为等比数列，且a₁=3，b₁=1，数列{ban}是公比为64的等比数列，b₂S₂=64．
（1）求a_n，b_n；
（2）求证

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则d为正整数，a_n=3+（n-1）d，b_n=q^n-1，
依题意有

ban+1 ban = q3+nd q3+(n-1)d =qd=64=26 S2b2=(6+d)q=64

，由此可导出a_n与b_n．
（2）S_n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2），所以

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

n(n+2)

，然后用裂项求和法进行求解．

解答：解：（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则d为正整数，a_n=3+（n-1）d，b_n=q^n-1
依题意有

ban+1 ban = q3+nd q3+(n-1)d =qd=64=26 S2b2=(6+d)q=64

①
由（6+d）q=64知q为正有理数，故d为6的因子1，2，3，6之一，
解①得d=2，q=8
故a_n=3+2（n-1）=2n+1，b_n=8^n-1
（2）S_n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2）
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)＜

3

4

．

点评：本题考查数列和不等式的综合应用，解题时要认真审题，注意裂项求和法的应用．