Question

14．设函数$f（x）=2{cos^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx+\frac{1}{2}，（{x∈R}）$，
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得函数f（x）的单调增区间．
（2）由已知可求2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，利用正弦函数的图象和性质可求sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，即可得解其值域．

解答 解：（1）∵$f（x）=2{cos^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx+\frac{1}{2}，（{x∈R}）$
=cos2x+1+$\sqrt{3}$sin2x+$\frac{1}{2}$
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：kπ$-\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∴函数f（x）的单调增区间为：[kπ$-\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（2）∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$]．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想，属于基础题．