Question

10．过点P（-$\sqrt{3}$，-1）的直线与曲线y=$\sqrt{1-{x^2}}$有公共点，则直线的斜率范围是（　　）

• A． $[0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}]$
• B． $[0，\sqrt{3}]$
• C． $[\sqrt{3}-1，\sqrt{3}]$
• D． $[\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}，\sqrt{3}]$

Answer 1

分析 把曲线方程变形，设出过点点P（-$\sqrt{3}$，-1）且与半圆x²+y²=1（-1≤x≤1，y≥0）相切的直线的方程，由圆心到直线的距离小于或等于半径圆的半径求得答案．

解答 解：由y=$\sqrt{1-{x^2}}$，得x²+y²=1（-1≤x≤1，y≥0），
设过点P（-$\sqrt{3}$，-1）且与半圆x²+y²=1（-1≤x≤1，y≥0）相切的直线的斜率为k（k＞0），
则直线方程为y+1=k（x+$\sqrt{3}$），即kx-y+$\sqrt{3}$k-1=0．
根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得 $\frac{|\sqrt{3}k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，
即 3k²-2$\sqrt{3}$k+1≤k²+1，解得0≤k≤$\sqrt{3}$，
过点P（-$\sqrt{3}$，-1）的直线过（1，0）时，k=$\frac{1}{1+\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$≤k≤$\sqrt{3}$，
故选：D．

点评 本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．