Question

18．f（x）=asinx+bcosx，当f（$\frac{π}{3}$）=1且f（x）的最小值为k时，求k的取值范围．

Answer 1

分析 由题意求得$\sqrt{3}$a+b=2，f（x）=asinx+（2-$\sqrt{3}$a）cosx，可得 k=-2$\sqrt{{（a-\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}+\frac{1}{4}}$，再利用二次函数的性质求得k的范围．

解答 解：由题意可得f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a+$\frac{b}{2}$=1，∴$\sqrt{3}$a+b=2，∴f（x）=asinx+bcosx=asinx+（2-$\sqrt{3}$a）cosx．
∴k=-$\sqrt{{a}^{2}{+（2-a•\sqrt{3}）}^{2}}$=-2$\sqrt{{（a-\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}+\frac{1}{4}}$≤-1，
当且仅当a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，k取得最大值为-1，故k≤-1．

点评 本题主要考查三角函数的最值、二次函数的性质应用，属于中档题．