Question

19．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，已知点A（-a，0）、C（0，b），且S_△OAC=1．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，若D（a，0），且|BD|=$\frac{4}{5}$$\sqrt{17}$，求直线l的倾斜角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的离心率求得a²=4b²，ab=2即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用中点坐标公式求得AB的中点M的坐标，由题意可知丨OM丨=$\frac{2}{5}$$\sqrt{17}$，即可求得直线l的倾斜角．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则a²=4b²，①
由S=$\frac{1}{2}$ab=1，则ab=2，②，解得：a=2，b=1，
∴椭圆的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：点A的坐标是（-2，0），设B（x₁，y₁），
直线l的斜率为k，则直线l的方程：y=k（x+2），
于是A，B两点的坐标满足方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y并整理得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，
则x₁-2=-$\frac{16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，-2x₁=$\frac{16{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，x₁=-$\frac{8{k}^{2}-2}{1+4{k}^{2}}$，
设AB的中点M，M（-$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{2k}{1+4{k}^{2}}$），
由丨BD丨=$\frac{4}{5}$$\sqrt{17}$，即丨OM丨=$\frac{2}{5}$$\sqrt{17}$，则（-$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$）²+（$\frac{2k}{1+4{k}^{2}}$）²=$\frac{34}{25}$，
整理得：128k⁴-111k²-17=0，解得：k²=1，即k=±1，
∴直线l的倾斜角为$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式，两点之间的距离公式，考查计算能力，属于中档题．