Question

已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线的斜率为．

（1）求实数的值；

（2）若对任意成立，求实数的取值范围；

（3）当时，证明：．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）详见解析．

【解析】

试题分析：（1）由结合条件函数的图象在点处的切线的斜率为，可知，可建立关于的方程：，从而解得；（2）要使对任意恒成立，只需即可，而由（1）可知，∴问题即等价于求函数的最大值，可以通过导数研究函数的单调性，从而求得其最值：

，令，解得，当时，，∴在上是增函数；当时，，∴在上是减函数，因此在处取得最大值，∴即为所求；（3）考虑采用分析法证明欲证的不等式：

，故可考虑构造函数，则问题等价于证明在上单调递增，可以考虑利用导数求证：，由（2）知，，∴，∴是上的增函数，即欲证不等式得证．

试题解析：（1）∵，∴， 1分

又∵的图象在点处的切线的斜率为，∴，即，

∴； 2分

（2） 由（1）知，，

∴对任意成立对任意成立， 4分

令，则问题转化为求的最大值，

，令，解得， 5分

当时，，∴在上是增函数；

当时，，∴在上是减函数． 6分

故在处取得最大值，∴即为所求； 8分

（3）令，则， 9分

由（2）知，，∴， 10分

∴是上的增函数，

∵，∴，即， 11分

∴， 12分

即，，

， 13分

∴，∴． 14分

考点：1．利用导数求切线方程；2．利用导数判断函数单调性与求函数极值．