Question

4．如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长和底面边长均为2，D是BC的中点．
    （1）求直线A₁B与C₁D所成角的余弦值；
（2）求三棱锥C₁-ADB₁的体积．

Answer 1

分析 （1）连结A₁C交AC₁于E，连结DE，由三角形中位线性质可得∠C₁DE为直线A₁B与C₁D所成的角，然后由已知求解直角三角形得到三角形C₁DE的三边长，利用余弦定理求得直线A₁B与C₁D所成角的余弦值；
（2）直接利用等积法把三棱锥C₁-ADB₁的体积转化为三棱锥A-DB₁C₁的体积求解．

解答 解：（1）连结A₁C交AC₁于E，连结DE，
∵D为BC中点，E为A₁C的中点，∴DE∥A₁B，
∴∠C₁DE为直线A₁B与C₁D所成的角．
∵侧棱长和低面边长均为2，
∴${C}_{1}D=\sqrt{5}$，${C}_{1}E=\frac{1}{2}A{C}_{1}=\sqrt{2}$，$DE=\frac{1}{2}{A}_{1}B=\sqrt{2}$，
在△C₁DE中，cos$∠{C}_{1}DE=\frac{D{E}^{2}+{C}_{1}{D}^{2}-{C}_{1}{E}^{2}}{2DE•{C}_{1}D}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$；
（2）∵C₁C⊥平面ABC，AD?平面ABC，∴C₁C⊥AD，
在正三角形ABC中，D为BC中点，∴AD⊥BC，则AD⊥平面BCC₁B₁，
∴${V}_{{C}_{1}-AD{B}_{1}}={V}_{A-D{B}_{1}{C}_{1}}=\frac{1}{3}{S}_{△D{B}_{1}{C}_{1}}•AD$=$\frac{1}{3}×2×\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查异面直线所成的角，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．