Question

12．若不等式（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x-m≥0在x∈（-∞，1]时恒成立，则实数m的取值范围是（-∞，$\frac{5}{6}$]．

Answer 1

分析 分离变量，利用函数的单调性求解即可．

解答 解：不等式（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x-m≥0，可得不等式（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x≥m，在x∈（-∞，1]时恒成立，
因为函数y=（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x，在x∈（-∞，1]是减函数，函数的最小值为：f（1）=$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$=$\frac{5}{6}$，
则实数m的取值范围是：（-∞，$\frac{5}{6}$]．
故答案为：（-∞，$\frac{5}{6}$]．

点评 本题考查函数恒成立，函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力．