Question

如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=1，PD=．
（Ⅰ）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；
（Ⅱ）求直线PE与平面PBC所成角的正弦值．
（Ⅲ） 在PC上是否存在一点Q，使得平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）若M为PA中点，证明MN∥AC，利用线面平行的判定，即可证明AC∥平面MDE；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，确定面PBC的法向量，即可求直线PE与平面PBC所成角的正弦值；
（Ⅲ）确定平面QAD的法向量，利用平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为，结合向量的夹角公式，即可求得结论．
解答：（Ⅰ）证明：连结PC，交DE与N，连结MN，
∵△PAC中，M，N分别为两腰PA，PC的中点，
∴MN∥AC…（1分）
因为MN?面MDC，又AC?面MDC，所以AC∥平面MDC…（3分）
（Ⅱ）解：∵∠ADC=90°，∴AD⊥DC，
又AD?平面ABCD，平面PDCE∩平面ABCD，
∴AD⊥平面PDCE，
又PD?平面PDCE，∴AD⊥PD．…（4分）
以D为空间坐标系的原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，…（6分）
设面PBC的法向量=（x，y，1），应有
即：
解得：，所以…（8分）
设PE与PBC所成角的大小为θ，∵
∴，…（9分）
（Ⅲ）解：设-------（10分）

设平面QAD的法向量为=（x′，y′，1），
即：…（11分）
解得：，所以…（12分）
∵面PBC的法向量，平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为．
∴，…（13分）
∴
所以，PC上存在点Q满足条件，Q与P重合，或…（14分）
点评：本题考查线面平行，考查线面角，考查面面角，考查空间向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定平面的法向量是关键．