Question

17．已知正项数列{a_n}，其前n项的和为S_n，且满足4S_n=a_n²+2a_n+1，
（1）求数列{a_n}的通项公式与数列{$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$}的前n项的和．
（2）设数列{b_n}满足b_n=3ⁿ•a_n，试求数列{b_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推公式、等差数列的通项公式可得a_n，再利用“裂项求和”方法即可得出．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）当n=1时，$4{a_1}=a_1^2+2{a_1}+1$，∴$a_1^2-2{a_1}+1=0，{a_1}=1$，
当n≥2时，$4{S_{n-1}}=a_{n-1}^2+2{a_{n-1}}+1$与$4{S_n}=a_n^2+2{a_n}+1$，两式相减可得$4{a_n}=a_n^2-a_{n-1}^2+2{a_n}-2{a_{n-1}}$，
∴$a_n^2-a_{n-1}^2-2{a_n}-2{a_{n-1}}=0$，化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，即数列{a_n}为等差数列，
∴a_n=a₁+（n-1）•d=1+（n-1）×2=2n-1．
∴$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
设数列$\{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$的前n项的和为${M_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$，
数列$\{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$的前n项的和为$\frac{n}{2n+1}$．
（2）${b_n}={3^n}•{a_n}=（2n-1）•{3^n}$，${T_n}=1×3+3×{3^2}+5×{3^3}+…+（2n-1）•{3^n}$
上式同乘以3可得，$3{T_n}=1×{3^2}+3×{3^3}+5×{3^4}+…+（2n-1）•{3^{n+1}}$
两式相减可得$-2{T_n}=3+2[{3^2}+{3^3}+…+{3^n}]-（2n-1）•{3^{n+1}}$
可得${T_n}=（n-1）•{3^{n+1}}+3$．

点评 本题考查了递推关系、“裂项求和”方法、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．