Question

18．如图，已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，其左、右顶点分别为A₁（-2，0），A₂（2，0）．过点D（1，0）的直线l与该椭圆相交于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线A₁M与NA₂的斜率分别为k₁，k₂，试问：是否存在实数λ，使得k₂=λk₁？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得a，结合离心率得c，再由隐含条件求得b得答案；
（Ⅱ）设直线A₁M的方程为y=k₁（x+2），直线NA₂的方程为y=k₂（x-2）．分别联立直线方程和椭圆方程求得M，N的坐标，结合M，D，N三点共线可得k₂=3k₁．说明存在λ=3，使得结论成立．

解答 解：（Ⅰ）依题意可知a=2．
∵$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴c=$\sqrt{3}$，得$b=\sqrt{{a^2}-{c^2}}=1$．
∴椭圆C的方程为：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）设直线A₁M的方程为y=k₁（x+2），直线NA₂的方程为y=k₂（x-2）．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得$（4{{k}_{1}}^{2}+1）{x}^{2}+16{k}_{1}x+16{{k}_{1}}^{2}-4=0$．
解得点M的坐标为（$\frac{2-8{{k}_{1}}^{2}}{4{{k}_{1}}^{2}+1}$，$\frac{4{k}_{1}}{4{{k}_{1}}^{2}+1}$），
同理，可解得点N的坐标为（$\frac{8{{k}_{2}}^{2}-2}{4{{k}_{2}}^{2}+1}$，$-\frac{4{k}_{2}}{4{{k}_{2}}^{2}+1}$）．
由M，D，N三点共线，得$\frac{\frac{4{k}_{1}}{4{{k}_{1}}^{2}+1}}{\frac{2-8{{k}_{1}}^{2}}{4{{k}_{1}}^{2}+1}-1}$=$\frac{\frac{-4{k}_{2}}{4{{k}_{2}}^{2}+1}}{\frac{8{{k}_{2}}^{2}-2}{4{{k}_{2}}^{2}+1}-1}$，化简有（4k₁k₂+1）（k₂-3k₁）=0．
∵k₁，k₂同号，∴4k₁k₂+1＞0，则k₂=3k₁．
故存在λ=3，使得结论成立．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．