Question

3．在公差不为0的等差数列{a_n}中，a₂+a₄=a_p+a_q，记$\frac{1}{p}$+$\frac{9}{q}$的最小值为m，若数列{b_n}满足b₁=$\frac{2}{11}$m，2b_n+1-b_n•b_n+1=1，则b₁+$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{b}_{3}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{b}_{100}}{10{0}^{2}}$=（　　）

• A． $\frac{97}{100}$
• B． $\frac{99}{100}$
• C． $\frac{100}{101}$
• D． $\frac{102}{101}$

Answer 1

分析 根据题意，求出$\frac{1}{p}$+$\frac{9}{q}$的最小值m，从而求出b₁与通项公式b_n，再求出$\frac{{b}_{n}}{{n}^{2}}$以及b₁+$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{b}_{3}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{b}_{100}}{{100}^{2}}$的值．

解答 解：在等差数列{a_n}中，由a₂+a₄=a_p+a_q得，p+q=6，
因为$\frac{1}{p}$+$\frac{9}{q}$=$\frac{1}{6}$（$\frac{1}{p}$+$\frac{9}{q}$）（p+q）
=$\frac{1}{6}$（1+9+$\frac{q}{p}$+$\frac{9p}{q}$）
=$\frac{5}{3}$+$\frac{1}{6}$（$\frac{q}{p}$+$\frac{9p}{q}$）≥$\frac{5}{3}$+$\frac{1}{6}$•2$\sqrt{\frac{q}{p}•\frac{9p}{q}}$=$\frac{8}{3}$，
当且仅当q=3p时取得最小值，此时p=$\frac{3}{2}$，q=$\frac{9}{2}$（不合题意，舍去）；
应取p=2，q=4，此时$\frac{1}{p}$+$\frac{9}{q}$取得最小值是$\frac{11}{4}$，
所以m=$\frac{11}{4}$，b₁=$\frac{1}{2}$；
又2b_n+1-b_n•b_n+1=1，
所以b_n+1=$\frac{1}{2{-b}_{n}}$，
所以b₂=$\frac{2}{3}$，
b₃=$\frac{3}{4}$，…，
可归纳b_n=$\frac{n}{n+1}$，
所以$\frac{{b}_{n}}{{n}^{2}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$；
所以b₁+$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{b}_{3}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{b}_{100}}{{100}^{2}}$=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{100×101}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{100}$-$\frac{1}{101}$
=1-$\frac{1}{101}$
=$\frac{100}{101}$．
故选：C．

点评 本题考查了等差数列与数列求和的应用问题，也考查了逻辑推理与运算能力，是综合性题目．