Question

3．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$），x=-$\frac{π}{4}$为f（x）的零点，x=$\frac{π}{4}$为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（${\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}}$）单调，则ω的最大值为（　　）

• A． 12
• B． 11
• C． 10
• D． 9

Answer 1

分析 由题意可得ω•（-$\frac{π}{4}$）+φ=kπ，且ω•$\frac{π}{4}$+φ=k′π+$\frac{π}{2}$，故有ω=2（k′-k）+1①，再根据 $\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$≥$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$，求得ω≤12 ②，由①②可得ω的最大值，检验ω的这个值满足条件．

解答 解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$），
x=-$\frac{π}{4}$为f（x）的零点，x=$\frac{π}{4}$为y=f（x）图象的对称轴，
∴ω•（-$\frac{π}{4}$）+φ=kπ，且ω•$\frac{π}{4}$+φ=k′π+$\frac{π}{2}$，k、k′∈Z，∴ω=2（k′-k）+1，即ω为奇数①．
∵f（x）在（${\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}}$）单调，∴$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$≥$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$，∴ω≤12 ②．
由①②可得ω的最大值为11．
当ω=11时，由x=$\frac{π}{4}$为y=f（x）图象的对称轴，可得11×$\frac{π}{4}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
故有φ=-$\frac{π}{4}$，ω•（-$\frac{π}{4}$）+φ=kπ，满足x=-$\frac{π}{4}$为f（x）的零点，
同时也满足满足f（x）在（${\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}}$）单调，
故ω=11为ω的最大值，
故选：B．

点评 本题主要考查正弦函数的图象的特征，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于中档题．