Question

10．如图，已知一长为4dm，宽为3dm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第四面时被一小木块挡住，使木块底面与桌面成30°角，求点A走过的路程的长度及走过的弧所在的扇形的总面积

Answer 1

分析 由弧长、面积公式分别求出各段弧长、面积，相加即可求解．

解答 解：第一面翻滚时，点A的路程为$\overline{A{A}_{1}}$，其圆心角为$\frac{π}{2}$，半径为5 dm，
所走过的弧长为$\frac{5}{2}$π dm，所在的扇形的面积为$\frac{25}{4}$π dm²．
第二面翻滚时，点A的路程为$\overline{{A}_{1}{A}_{2}}$，其圆心角为$\frac{π}{2}$，半径为3 dm，
所走过的弧长为$\frac{3}{2}$π dm，所在的扇形的面积为$\frac{9}{4}$π dm²．
第三面翻滚时，点A（图中的点A₂）在桌面上不动；
第四面翻滚时，点A的路为$\overline{{A}_{2}{A}_{3}}$，其圆心角为$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$，半径为4 dm，
所走过的路程为$\frac{4}{3}$π dm，所在扇形的面积为$\frac{8}{3}$π dm²，
所以总路程为$\frac{5}{2}$π+$\frac{3}{2}$π+$\frac{4}{3}$π=$\frac{16}{3}$π（dm）．
走过的弧所在的扇形总面积为$\frac{25}{4}$π+$\frac{9}{4}$π+$\frac{4}{3}$π=$\frac{59}{6}$π（dm²）．

点评 本题考查弧长、面积公式，求出各段弧长的半径和圆心角是解题的关键，有一定的难度．