Question

19．已知a＞b＞c且$\frac{2}{a-b}+\frac{1}{b-c}≥\frac{m}{a-c}$恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

分析 设a-b=p，b-c=q，则a-c=p+q，那么不等式转化为$\frac{2}{p}+\frac{1}{q}≥\frac{m}{q+p}$，根据不等式的性质即可得解．

解答 解：法一：由题意，a＞b＞c，a-b=p＞0，b-c=q＞0，则a-c=p+q＞0，那么不等式转化为$\frac{2}{p}+\frac{1}{q}≥\frac{m}{q+p}$，
$\frac{2}{p}+\frac{1}{q}≥\frac{m}{q+p}$不等式转化为$\frac{2{q}^{\;}+p}{qp}≥\frac{m}{q+p}$，
可得：$\frac{2{q}^{2}+3pq+{p}^{2}}{pq}≥m$
即$\frac{2q}{p}+\frac{p}{q}+3$$≥3+2\sqrt{\frac{2q}{p}×\frac{p}{q}}=3+2\sqrt{2}$．（当且仅当$\sqrt{2}$q=p时取等号）
∴实数m的最大值为$3+2\sqrt{2}$．
法二：由题意，a-b＞0，b-c＞0，a-c＞0，
∴$\frac{2}{a-b}+\frac{1}{b-c}≥\frac{m}{a-c}$转化为：$\frac{2（a-c）}{a-b}+\frac{a-c}{b-c}≥m$．
可得：$\frac{2（a-b+b-c）}{a-b}+\frac{a-b+b-c}{b-c}≥m$．
分离：$2+\frac{2（b-c）}{a-b}+1+\frac{a-b}{b-c}≥$3+2$\sqrt{2}$．（当且仅当（a-b）=$\sqrt{2}$（b-c）时取等号）
∴实数m的最大值为3$+2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了构造思想和基本不等式的性质，属于基础题．