Question

18．设l，m，n为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列五个判断：
①若l⊥α，m⊥l，m⊥β则α⊥β；
②若m?β，n是l在β内的射影，n⊥m，则m⊥l；
③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
④若球的表面积扩大为原来的16倍，则球的体积扩大为原来的32倍；
⑤若圆x²+y²=4上恰有3个点到直线：l：y=x+b的距离为1，则b=$\sqrt{2}$
其中正确的为①②．

Answer 1

分析 在①中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在②中，由三垂直定理得m⊥l；在③中，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥；在④中，若球的表面积扩大为原来的16倍，则球的体积扩大为原来的64倍；在⑤中，b=±$\sqrt{2}$．

解答 解：由l，m，n为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，知：
在①中，若l⊥α，m⊥l，m⊥β，则面面垂直的判定定理得α⊥β，故①正确；
在②中，若m?β，n是l在β内的射影，n⊥m，则由三垂直定理得m⊥l，故②正确；
在③中，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥，
例如以底边为腰的两个等腰三角形侧面，第三侧面也是等腰三角形，但这样的三棱锥显然不是正三棱锥，故③错误；
在④中，若球的表面积扩大为原来的16倍，则球的体积扩大为原来的64倍，故④错误；
在⑤中，由圆C的方程：x²+y²=4，可得圆C的圆心为原点O（0，0），半径为2
若圆C上恰有3个点到直线l的距离等于1，则O到直线l：y=x+b的距离d等于1
直线l的一般方程为：x-y+b=0，∴d=$\frac{|b|}{\sqrt{2}}$=1，
解得b=±$\sqrt{2}$，故⑤错误．
故答案为：①②．

点评 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的关系、正三棱锥、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．