Question

在平面直角坐标系中，已知椭圆∶的左、右焦点分别、焦距为，且与双曲线共顶点．为椭圆上一点，直线交椭圆于另一点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若点的坐标为，求过、、三点的圆的方程；

（3）若，且，求的最大值．

 

Answer 1

（1）（2）；（3）

【解析】

试题分析：（1）由题易得椭圆中，可得椭圆方程；

（2）因为点的坐标为，故，可得的方程为，联立

直线方程和椭圆方程得，，可得圆心坐标和半径，则圆的方程可求；

（3）由题，设，，

可得，将其代入椭圆方程解得 ，，

由，，即得的最大值

1）【解析】
由题意得,故椭圆的方程为．

（2）因为所以的方程为

由 解得点的坐标为． 因为所以为直角三角形

因为的中点为，，

所以圆的方程为.

（3）设，则，

因为 ，所以即

所以解得

所以

因为 ，所以，当且仅当，即时，取等号．

最大值为．

考点：椭圆的标准方程，圆的标准方程，直线与圆的位置关系，基本不等式