Question

10．在等差数列{a_n}中，S_n为其前n项和（n∈N^*），且a₃=5，S₃=9．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由题已知等差数列，及a₃=5，S₃=9．可运用通项公式及求和公式，化为基本量a₁，d，建立方程可求出a₁，d，则可得的通项公式；
（2）由（1）已知等差数列的通项公式，可利用${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求出{b_n}的通项公式，观察可运用裂项法求和．

解答 解：（Ⅰ）由已知条件得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=5}\\{3{a}_{1}+6d=9}\end{array}\right.$，解得a₁=1，d=2．
∴所以通项公式为：a_n=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
数列{b_n}的前n项和S_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和方法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．