Question

三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A₁B₁C₁，∠BAC=90°，A₁A⊥平面ABC，A₁A=，AB=，AC=2，A₁C₁=1，，
(1)证明：平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁；
(2)求二面角A-CC₁-B的余弦值．

Answer 1

(1)证明：∵A1A⊥平面ABC，BC平面ABC， ∴A1A⊥BC， 在Rt△ABC中，AB=，AC=2， ∴BC=， ∵BD：DC=1：2， ∴BD=， 又， ∴△DBA∽△ABC， ∴∠ADB=∠BAC=90°，即AD⊥BC， 又A1A∩AD=A， ∴BC⊥平面A1AD， ∵BC平面BCC1B1， ∴平面A1AD⊥平面BCC1B1。
(2)如右图，作AE⊥C1C交C1C于E点，连接BE， 由已知得AB⊥平面ACC1A1， ∴AE是BE在平面ACC1A1内的射影， 由三垂线定理知BE⊥CC1， ∴∠AEB为二面角A-CC1-B的平面角， 过C1作C1F⊥AC交AC于F点，则CF=AC-AF=1，C1F=A1A=， ∴∠C1CF=60°， 在Rt△AEC中，AE=ACsin60°=2×=， 在Rt△BAE中，tan∠AEB=， ∴cos∠AEB=， 即二面角A-CC1-B的余弦值为。