Question

6．设直线系M：xcosθ+ysinθ=1，对于下列四个命题：
①不在直线系M中的点都落在面积为π的区域内
②直线系M中所有直线为一组平行线
③直线系M中所有直线均经过一个定点
④对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在直线系M中的直线上
其中真命题的代号是①④（写出所有真命题的代号）．

Answer 1

分析 直线M：xcosθ+ysinθ=1，则点（0，0）到直线的距离d=$\frac{1}{\sqrt{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}}$=1．因此直线系表示的是x²+y²=1的圆的所有切线，据此可以判断：①满足条件的点的圆的面积为π，正确．②不正确．③不正确；
④对于任意正整数n（n≥3），由于上述给出的圆有外切正多边形，即可判断出正误．

解答 解：直线M：xcosθ+ysinθ=1，则点（0，0）到直线的距离d=$\frac{1}{\sqrt{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}}$=1．
因此直线系表示的是x²+y²=1的圆的所有切线，据此可以判断：
①满足条件的点的圆的面积为π，正确．
②不正确．
③M中所有直线均过一个定点，不正确；
④对于任意正整数n（n≥3），由于上述给出的圆有外切正多边形，因此存在正n边形其所有边均在M中直线上，正确．
综上可得：正确的命题是①④．①④

点评 本题考查了直线系的应用、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．