Question

10．数列{a_n}满足a₁=1，a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1+1}}$（n≥2），则数列{a_n•a_n+1}的前10项和为（　　）

• A． $\frac{9}{10}$
• B． $\frac{10}{11}$
• C． $\frac{11}{10}$
• D． $\frac{12}{11}$

Answer 1

分析 利用递推关系式，判断数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，1为公差的等差数列，求出通项公式，然后化简所求的思路的通项公式，利用裂项法求解即可．

解答 解：数列{a_n}满足a₁=1，a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1+1}}$（n≥2），依题意a_n＞0且n≥2时，
a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1+1}}$，可得$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n-1}}=1$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=n，即a_n=$\frac{1}{n}$，∴a_n•a_n+1$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴S₁₀=1$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$$+…+\frac{1}{10}-\frac{1}{11}$=$\frac{10}{11}$．
故选B．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查计算能力．