Question

5．设f（n）=cos（$\frac{nπ}{2}$+$\frac{π}{4}$），则f（1）+f（2）+…+f（2015）等于（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． 0
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 f（n）=cos（$\frac{nπ}{2}$+$\frac{π}{4}$），可得f（n+4）=$cos（\frac{n+4}{2}π+\frac{π}{4}）$=f（n），即可得出．

解答 解：∵f（n）=cos（$\frac{nπ}{2}$+$\frac{π}{4}$），∴f（1）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，f（2）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，f（3）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，f（4）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
f（n+4）=$cos（\frac{n+4}{2}π+\frac{π}{4}）$=f（n），
∴f（1）+f（2）+…+f（2015）=[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]×503+f（1）+f（2）+f（3）
=0-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了数列与三角函数的周期性、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．