Question

已知函数f（log_ax）=

a

a2-1

(x-x-1)，其中a＞0且a≠1．
（1）求函数f（x）的解析式，并判断其奇偶性和单调性；
（2）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m²）＜0，求实数m的取值范围；
（3）当x∈（-∞，2）时，f（x）-6的值恒为负数，求函数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据对数式与相应指数式的关系，由函数f（log_ax）=

a

a2-1

(x-x-1)，将括号中对应的对数式化为x后，解析式中x要化为a^x，求出解析式后，可根据奇偶性的定义及导数法，求出函数的奇偶性和单调性；
（2）根据（1）中函数的性质，及x∈（-1，1）可将不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0，化为-1＜1-m＜1-m²＜1，进而得到实数m的取值范围；
（3）由当x∈（-∞，2）时，f（x）-6的值恒为负数，根据函数的单调性可得f（2）-6≤0整理可得a的取值范围．

解答：解：（1）由f（log_ax）=

a

a2-1

(x-x-1)，得f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)，…2’
因为定义域为R，
f(-x)=

a

a2-1

(a-x-ax)=-f（x）
所以f（x）为奇函数，…4’
因为f′(x)=

a•lna

a2-1

(ax+a-x)，
当0＜a＜1及a＞1时，f′（x）＞0，
所以f（x）为R上的单调增函数；…6’
（2）由f（1-m）+f（1-m²）＜0，得f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），，
又x∈（-1，1），则-1＜1-m＜1-m²＜1，得1＜m＜

2

；…10’
（3）因为f（x）为R上的单调增函数，所以当x∈（0，2）时，f（x）-6的值恒为负数，
所以f（x）-6＜0恒成立，
则f（2）-6=

a

a2-1

(a2-a-2)-6≤0，…12’
整理得a²-6a+1≤0，所以3-2

2

≤a≤3+2

2

，
又a＞0且a≠1，所以实数a的取值范围是[3-2

2

，1）∪（1，≤3+2

2

]．…14’

点评：本题是函数奇偶性与单调性的综合应用，特别是后面抽象不等式及恒成立问题，难度较大．