Question

如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC₁D₁，使∠D₁AC=60°；连结AC₁，再以AC₁为边作第三个菱形AC₁C₂D₂，使∠D₂AC₁=60°；…，按此规律所作的第n个菱形的面积为

 

．

Answer 1

分析：根据已知和菱形的性质可分别求得AC，AC₁，AC₂的长，从而可发现规律根据规律不难求得第n个菱形的边长，进而可求第n个菱形的面积．

解答：解：连接DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB．AC⊥DB，
∵∠DAB=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴DB=AD=1，
∴BM=

1

2

，
∴AM=

1- 1 4

=

3 4

=

3

2

，
∴AC=

3

，
同理可得AC₁=

3

AC=（

3

）²，AC₂=

3

AC₁=3

3

=（

3

）³，
按此规律所作的第n个菱形的边长为（

3

）^n-1，
∴第n个菱形的面积为2×

1

2

×[(

3

)n-1]2×

3

2

=

3

2

×3n-1；
故答案为：

3

2

×3n-1．

点评：本题主要考查归纳推理的应用，根据条件确定第n个菱形的边长为（

3

）^n-1，是解决本题的关键，综合性较强．