Question

14．已知数列{a_n}的通项公式是a_n=$\frac{n+p}{n+1}$（p∈R），若数列{a_n}是一个递增数列，则实数p的取值范围是（-∞，1）．

Answer 1

分析 根据数列的单调性建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：∵数列{a_n}的通项公式是a_n=$\frac{n+p}{n+1}$（p∈R），如果数列{a_n}是递增数列，
∴a_n+1-a_n=$\frac{n+1+p}{n+2}$-$\frac{n+p}{n+1}$=（1+$\frac{p-1}{n+2}$）-（1+$\frac{p-1}{n+1}$）=（p-1）（$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+1}$）=（p-1）•$\frac{-1}{（n+2）（n+1）}$=（1-p）•$\frac{1}{（n+2）（n+1）}$＞0，
∴1-p＞0，
即p＜1，
故实数p的取值范围是（-∞，1）
故答案为：（-∞，1）．

点评 本题主要考查数列的递推公式的应用，结合数列的单调性的关系建立不等式是解决本题的关键．