Question

7．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}，x≥1\\{x^3}，x＜1\end{array}$，若关于x的方程f（x）=x+m有两个不同的实根，则实数所的取值范围为0＜m＜$\frac{2\sqrt{3}}{9}$或m＜-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$．

Answer 1

分析 关于x的方程f（x）=x+m有两个不同的实根转化为函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}，x≥1\\{x^3}，x＜1\end{array}$与y=x+m的图象有两个不同的交点，从而利用数形结合的方法求解．

解答 解：由题意作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}，x≥1\\{x^3}，x＜1\end{array}$与y=x+m的图象如下，
，
当x＜1时，f（x）=x³，f′（x）=3x²，
令f′（x）=1解得，
x=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$或x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
而f（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{9}$，f（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{9}$；
故m=-$\frac{\sqrt{3}}{9}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，或m=$\frac{\sqrt{3}}{9}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，
结合图象可知，
0＜m＜$\frac{2\sqrt{3}}{9}$或m＜-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$．
故答案为：0＜m＜$\frac{2\sqrt{3}}{9}$或m＜-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题考查了方程与函数的关系应用及数形结合的思想方法应用．