Question

11．给出下列命题：
①存在实数α，使sinα•cosα=$\frac{1}{3}$；
②函数y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π；
③设$\overrightarrow a，\overrightarrow b$是两个非零向量，若存在实数λ，使$\overrightarrow b$=λ$\overrightarrow a$，则|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=|$\overrightarrow a$|-|$\overrightarrow b$|；
④若sin（2x₁-$\frac{π}{4}$）=sin（2x₂-$\frac{π}{4}$），则x₁-x₂=kπ，其中k∈Z；
⑤若α、β是第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ．
其中正确命题的序号是①②．

Answer 1

分析 ①根据是三角函数的有界性进行判断，
②根据三角形的周期公式进行求解判断，
③根据向量共线和模长关系进行判断
④根据三角函数的图象和性质进行判断
⑤利用特殊值法进行排除判断．

解答 解：：①sinα•cosα=$\frac{1}{2}$sin2α∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，则存在实数α，使sinα•cosα=$\frac{1}{3}$正确；故①正确，
②函数y=sin⁴x-cos⁴x=sin²x-cos²x=-cos2x，则函数的最小正周期是T=$\frac{2π}{2}$=π；故②正确；
③设$\overrightarrow a，\overrightarrow b$是两个非零向量，若存在实数λ，使$\overrightarrow b$=λ$\overrightarrow a$，当λ＞0时，有|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=|$\overrightarrow a$|+|$\overrightarrow b$|；当λ＜0时，
有|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=||$\overrightarrow a$|-|$\overrightarrow b$||；故③错误；
④若sin（2x₁-$\frac{π}{4}$）=sin（2x₂-$\frac{π}{4}$），则有  2x₁-$\frac{π}{4}$=2kπ+2x₂-$\frac{π}{4}$，或 2x₁-$\frac{π}{4}$=2kπ+π-（2x₂-$\frac{π}{4}$），k∈z，
∴x₁-x₂=kπ，或x₁+x₂=kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈z，故④不正确．
⑤当α=390°，β=30°时，满足α＞β，但sinα=sinβ，故α＞β，则sinα＞sinβ错误，故⑤错误，
故答案为：①②

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，考查学生的转化和运算能力．