Question

6．已知$\overrightarrow{OA}$=（0，-2），$\overrightarrow{OB}$=（0，2），直线l：y=-2，动点P到直线l的距离为d，且d=|$\overrightarrow{PB}$|．
1）求动点P的轨迹方程；
（2）直线m：y=$\sqrt{k}$x+1（k＞0）与点P的轨迹交于M，N两点，当$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$≥17时，求直线m的倾斜角α的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），由d=|$\overrightarrow{PB}$|，可得|y+2|=$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$，化简即可得出．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．直线方程与抛物线方程联立化为：x²-8$\sqrt{k}$x-8=0，把根与系数的关系代入$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=x₁x₂+（y₁+2）（y₂+2）=x₁x₂+$（\sqrt{k}{x}_{1}+3）（\sqrt{k}{x}_{2}+3）$，化简再利用$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$≥17，可得k的求值法，再利用直线倾斜角与斜率的关系即可得出．

解答 解：（1）设P（x，y），$\overrightarrow{PB}$=（-x，2-y）．
∵d=|$\overrightarrow{PB}$|，∴|y+2|=$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$，化为：x²=8y．（y≥0）
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{k}x+1}\\{{x}^{2}=8y}\end{array}\right.$，化为：x²-8$\sqrt{k}$x-8=0，
△＞0，
∴x₁+x₂=8$\sqrt{k}$，x₁x₂=-8．
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=x₁x₂+（y₁+2）（y₂+2）=x₁x₂+$（\sqrt{k}{x}_{1}+3）（\sqrt{k}{x}_{2}+3）$
=（1+k）x₁x₂+$3\sqrt{k}$（x₁+x₂）+9
=-8（1+k）+3$\sqrt{k}$$•8\sqrt{k}$+9
=16k+1，
∵$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$≥17，∴16k+1≥17，∴k≥1．
∴tanα=$\sqrt{k}$≥1，又α∈[0，π），
∴$\frac{π}{4}$≤$α＜\frac{π}{2}$，
即直线m的倾斜角α的取值范围是$[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$．

点评 本题考查了向量的模、抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、数量积运算性质、直线倾斜角与斜率的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．