点P是函数f+m(ω＞0.|φ|＜$\frac{π}{2}$)的图象的一个对称中心.且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为$\frac{π}{4}$．①f(x)的最小正周期是π, ②f(x)的值域为[0.2], ③f(x)的初相φ为$\frac{π}{3}$ ④f(x)在[$\frac{5π}{3}$.2π]上单调递增．以上说法正确的个数是( )A．1B．2C� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．点P（-$\frac{π}{6}$，1）是函数f（x）=sin（ωx+φ）+m（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象的一个对称中心，且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为$\frac{π}{4}$．
①f（x）的最小正周期是π；
②f（x）的值域为[0，2]；
③f（x）的初相φ为$\frac{π}{3}$
④f（x）在[$\frac{5π}{3}$，2π]上单调递增．
以上说法正确的个数是（　　）

A．

B．

C．

D．

分析由条件利用正弦函数的周期性、单调性、最值，以及它的图象的对称性，得出结论，从而得到答案．

解答解：∵点P（-$\frac{π}{6}$，1）是函数f（x）=sin（ωx+φ）+m（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象的一个对称中心，
∴m=1，ω•（-$\frac{π}{6}$）+φ=kπ，k∈Z．
∵点P到该图象的对称轴的距离的最小值为$\frac{T}{4}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{4}$，∴ω=2，
∴φ=kπ+$\frac{π}{3}$，∴φ=$\frac{π}{3}$，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1．
故①f（x）的最小正周期是π，正确；②f（x）的值域为[0，2]，正确；
③f（x）的初相φ为$\frac{π}{3}$，正确；
④在[$\frac{5π}{3}$，2π]上，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{11π}{3}$，$\frac{13π}{3}$]，再根据函数的周期性，等价于2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，
故函数f（x）单调递增，故④正确，
故选：D．

点评本题主要考查正弦函数的周期性、单调性、最值，以及它的图象的对称性，属于基础题．