Question

已知函数f（x）=x²-1-

1

x

．
（1）求函数y=f（x）的零点的个数；
（2）令g（x）=

ax2+ax

xf(x)+ x

+lnx，若函数y=g（x）在（0，

1

e

）内有极值，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数零点的判定定理,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求导，得到f（x）在（0，+∞）单调递增，根据函数零点的判定定理证得函数f（x）在（0，+∞）上有唯一零点，从而得出结论．
（2）先化简得到g（x）=

a

x-1

+lnx，再求导，令设h（x）=x²-（2+a）x+1，要使函数g（x）在（0，

1

e

）内有极值，设有两个不等实根x₁，x₂，至少有一根在（0，

1

e

）内，结合题意即可求得实数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f′（x）=2x+

1

2 x3

＞0
∴f（x）在（0，+∞）单调递增，
又f（1）=-1＜0，f（2）=3-

2

2

＞0，
∴f（x）在（0，+∞）内有唯一的零点
故f（x）在（0，+∞）上有一个零点．
（2）g（x）=

ax2+ax

xf(x)+ x

+lnx=

ax2+ax

x3-x

+lnx=

ax(x+1)

x(x+1)(x-1)

+lnx=

a

x-1

+lnx，
其定义域（0，1）∪（1，+∞），
则g′（x）=

1

x

-

a

(x-1)2

=

x2-(2+a)x+1

x(x-1)2

，
设h（x）=x²-（2+a）x+1，要使函数g（x）在（0，

1

e

）内有极值，
由于h（0）=1，则h（x）=0在（0，+∞） 内有两个不等实根x₁，x₂，
∴△=（2+a）²-4＞0．
解得a＞0，或a＜-4
又x₁，x₂至少有一根在（0，

1

e

）内，不妨设x₁∈（0，

1

e

），
由x₁•x₂=1得0＜x₁＜

1

e

＜x₂，
∴只需h（

1

e

）＜0，
∴a＞e+

1

e

-2

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，着重考查函数在某点取得极值的条件，考查分类讨论与化归思想，属于中档题