Question

10．记U={1，2，…，100}，对数列{a_n}（n∈N^*）和U的子集T，若T=∅，定义S_T=0；若T={t₁，t₂，…，t_k}，定义S_T=${a}_{{t}_{1}}$+${a}_{{t}_{2}}$+…+${a}_{{t}_{k}}$．例如：T={1，3，66}时，S_T=a₁+a₃+a₆₆．现设{a_n}（n∈N^*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S_T=30．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S_T＜a_k+1；
（3）设C⊆U，D⊆U，S_C≥S_D，求证：S_C+S_C∩D≥2S_D．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由S_T的定义，分析可得S_T=a₂+a₄=a₂+9a₂=30，计算可得a₂=3，进而可得a₁的值，由等比数列通项公式即可得答案；
（2）根据题意，由S_T的定义，分析可得S_T≤a₁+a₂+…a_k=1+3+3²+…+3^k-1，由等比数列的前n项和公式计算可得证明；
（3）设A=∁_C（C∩D），B=∁_D（C∩D），则A∩B=∅，进而分析可以将原命题转化为证明S_C≥2S_B，分2种情况进行讨论：①、若B=∅，②、若B≠∅，可以证明得到S_A≥2S_B，即可得证明．

解答 解：（1）当T={2，4}时，S_T=a₂+a₄=a₂+9a₂=30，
因此a₂=3，从而a₁=$\frac{{a}_{2}}{3}$=1，
故a_n=3^n-1，
（2）S_T≤a₁+a₂+…a_k=1+3+3²+…+3^k-1=$\frac{{3}^{k}-1}{2}$＜3^k=a_k+1，
（3）设A=∁_C（C∩D），B=∁_D（C∩D），则A∩B=∅，
分析可得S_C=S_A+S_C∩D，S_D=S_B+S_C∩D，则S_C+S_C∩D-2S_D=S_A-2S_B，
因此原命题的等价于证明S_C≥2S_B，
由条件S_C≥S_D，可得S_A≥S_B，
①、若B=∅，则S_B=0，故S_A≥2S_B，
②、若B≠∅，由S_A≥S_B可得A≠∅，设A中最大元素为l，B中最大元素为m，
若m≥l+1，则其与S_A＜a_i+1≤a_m≤S_B相矛盾，
因为A∩B=∅，所以l≠m，则l≥m+1，
S_B≤a₁+a₂+…a_m=1+3+3²+…+3^m-1=$\frac{{3}^{m}-1}{2}$≤$\frac{{a}_{m+1}}{2}$=$\frac{{S}_{A}}{2}$，即S_A≥2S_B，
综上所述，S_A≥2S_B，
故S_C+S_C∩D≥2S_D．

点评 本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．