Question

4．某市在中学生综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级．其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其它为“合格”．
（1）某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的综合素质评价结果，并作出频数统计如表：

等级	优秀	合格	不合格
男生（人）	15	x	5
女生（人）	15	3	y

根据表中统计的数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”？

	男生	女生	总计
优秀
非优秀
总计

（2）以（1）中抽取的45名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等级发生的概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高一学生中随机抽取3人．
①求所选3人中恰有2人综合素质评价为“优秀”的概率；
②记X表示这3个人中综合速度评价等级为“优秀”的个数，求X的数学期望．
参考数据与公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．
临界值表：

P（K2＞k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

Answer 1

分析 （1）先求出从高一年级男生中抽出人数及x，y，作出2×2列联表，求出K²=1.125＜2.706，从而得到没有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”．
（2）①由（1）知等级为“优秀”的学生的频率为$\frac{2}{3}$，从该市高一学生中随机抽取一名学生，该生为“优秀”的概率为$\frac{2}{3}$．由此能求出所选3名学生中恰有2人综合素质评价为‘优秀’学生的概率．
②X表示这3个人中综合速度评价等级为“优秀”的个数，由题意，随机变量X～B（3，$\frac{2}{3}$），由此能求出X的数学期望．

解答 解：（1）设从高一年级男生中抽出m人，则$\frac{m}{500}=\frac{45}{500+400}$，
解得m=25．
∴x=25-20=5，y=20-18=2．
∴2×2列联表为：

	男生	女生	总计
优秀	15	15	30
非优秀	10	5	15
总计	25	20	45

∴K²=$\frac{45（15×5-10×15）^{2}}{30×15×25×20}$=1.125＜2.706，
∴没有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”．
（2）①由（1）知等级为“优秀”的学生的频率为$\frac{15+15}{45}$=$\frac{2}{3}$，
∴从该市高一学生中随机抽取一名学生，该生为“优秀”的概率为$\frac{2}{3}$．
记“所选3名学生中恰有2人综合素质评价为‘优秀’学生”为事件A，
则事件A发生的概率为：
P（A）=${C}_{3}^{2}×（\frac{2}{3}）^{2}（1-\frac{2}{3}）$=$\frac{4}{9}$．
②X表示这3个人中综合速度评价等级为“优秀”的个数，
由题意，随机变量X～B（3，$\frac{2}{3}$），
∴X的数学期望E（X）=3×$\frac{2}{3}$=2．

点评 本题考查抽样方法、独立性检验、独立重复试验的概率，考查二项分布及其期望，考查学生读取统计表，利用统计量进行决策的能力和意识，是中档题．