设函数f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$.其中向量$\overrightarrow{a}$=.$\overrightarrow{b}$=(cos x.$\sqrt{3}$sin 2x).x∈R．=1-$\sqrt{3}$.且x∈[-$\frac{π}{3}$.$\frac{π}{3}$].求x,的单调增区间.并在给� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，其中向量$\overrightarrow{a}$=（2cos x，1），$\overrightarrow{b}$=（cos x，$\sqrt{3}$sin 2x），x∈R．
（1）若函数f（x）=1-$\sqrt{3}$，且x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，求x；
（2）求函数y=f（x）的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y=f（x）在[0，π]上的图象．

分析（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，求出相位的范围，利用正弦函数的有界性求解即可．
（2）利用正弦函数的单调区间求解函数的单调区间，然后利用五点法画出函数的图象．

解答解：（1）函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，其中向量$\overrightarrow{a}$=（2cos x，1），$\overrightarrow{b}$=（cos x，$\sqrt{3}$sin 2x），
得f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin 2x
=1+cos 2x+$\sqrt{3}$sin 2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1．
由2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1=1-$\sqrt{3}$得sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵-$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{π}{3}$，∴-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
∴2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{3}$，即x=-$\frac{π}{4}$．
（2）-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z），即-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ（k∈Z）
得函数单调增区间为[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]（k∈Z）．