Question

己知四棱锥P-ABCD，其中底面ABCD为矩形侧棱PA底面ABCD，其中BC=2,AB=2PA=6，

M,N为侧棱PC上的两个三等分点，如图所示：

（1）求证：AN∥平面MBD；

（2）求二面角B-PC-A的余弦值．

 

Answer 1

（1）详见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）要证明直线和平面平行，只需证明直线和平面内的直线平行，本题连结AC交BD于O，连结OM，由三角形的中位线定理易证OM//AN，进而证明AN∥平面MBD；（2）求二面角大小，根据已知条件寻找或作出两两垂直的三条直线为轴，建立空间直角坐标系，用坐标表示相关点，求两个半平面的法向量并求其夹角的余弦值，二面角的余弦值与法向量夹角余弦值相等或为相反数，再由图中二面角是锐角还是钝角确定其正负．

试题解析：（1）证明：连结AC交BD于O，连结OM，

∵底面ABCD为矩形，∴O为AC中点，∵M、N为侧棱PC的三等份点，∴CM=CN，

∴OM//AN， ∵OM平面MBD，AN平面MBD，∴AN//平面MBD 4分．

（2）易知为等腰直角三角形,所以BP为外接圆的直径,所以PB=,PA=3

如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，

则A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(3,6,0)，D(0,6,0)，P(0,0,3)，M(2,4,1)，N(1,2,2),

设平面的法向量为,，并且,

，令得,

∴平面MBD的一个法向量为, 6分

设平面法向量为,

同理可得 8分

10分

由图可知,二面角为锐角,

∴二面角的余弦值为

考点：1、直线和平面平行的判定定理；2、二面角．