Question

19．已知f（α）=$\frac{sin（π-α）}{sin（\frac{π}{2}+α）}$．
（Ⅰ）求f（$\frac{4π}{3}$）的值；
（Ⅱ）若角A是△ABC的内角，且f（A）=$\frac{3}{4}$，求cos²A-sin²A的值．

Answer 1

分析 （I）利用诱导公式与同角三角函数基本关系式可得f（α）=tanα．代入即可得出f（$\frac{4π}{3}$）．
（II）f（A）=$\frac{3}{4}$，可得tanA=$\frac{3}{4}$，可得cos²A-sin²A=$\frac{co{s}^{2}A-si{n}^{2}A}{si{n}^{2}A+co{s}^{2}A}$=$\frac{1-ta{n}^{2}A}{1+ta{n}^{2}A}$．

解答 解：（I）f（α）=$\frac{sin（π-α）}{sin（\frac{π}{2}+α）}$=$\frac{sinα}{cosα}$=tanα．∴f（$\frac{4π}{3}$）=$tan\frac{4π}{3}$=$tan\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$；
（II）f（A）=$\frac{3}{4}$，∴tanA=$\frac{3}{4}$，
∴cos²A-sin²A=$\frac{co{s}^{2}A-si{n}^{2}A}{si{n}^{2}A+co{s}^{2}A}$=$\frac{1-ta{n}^{2}A}{1+ta{n}^{2}A}$=$\frac{1-（\frac{3}{4}）^{2}}{1+（\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{7}{25}$．

点评 本题考查了诱导公式与同角三角函数基本关系式、“弦化切”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．