Question

已知动点P到y轴的距离等于P到圆x²-3x+y²=0的切线长，设点P的轨迹为曲线E；
（1）求曲线E的方程；
（2）试求出定点Q，使得过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点时，都有

|MQ|2+|NQ|2

|MQ|•|NQ|

=λ为定值．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y），圆方程x²-3x+y²=0化为标准式为：(x-

3

2

)2+y2=

9

4

，利用动点P到y轴的距离等于P到圆x²-3x+y²=0的切线长，可得方程，化简即得曲线E的方程；
（2）设定点Q的坐标为（m，n），设出过点Q任作的直线方程

x=m+tcosa y=n+tsina

（α为直线的倾斜角）代入曲线E的方程，进而利用韦达定理，得t1+t2=

3cosα-2nsinα

sin2α

t1t2=

n2-3m

sin2α

，利用直线参数方程的意义，知|MQ|=t₁，|NQ|=t₂，利用

|MQ|2+|NQ|2

|MQ|•|NQ|

=λ为定值，可求定点Q的坐标．

解答：解：（1）设P（x，y），圆方程x²-3x+y²=0化为标准式为：(x-

3

2

)2+y2=

9

4

则有|x|=

(x- 3 2 )2+y2- 9 4

∴x²=x²-3x+y²
∴y²=3x
∴曲线E的方程为：y²=3x
（2）设定点Q的坐标为（m，n），过点Q任作的直线方程可设为：

x=m+tcosa y=n+tsina

（a为直线的倾斜角）
代入曲线E的方程y²=3x，得（n+tsinα）²=3（m+tcosα）
sin²αt²+（2nsinα-3cosα）t+n²-3m=0
由韦达定理，得t1+t2=

3cosα-2nsinα

sin2α

，t1t2=

n2-3m

sin2α

由直线参数方程的意义，知：|MQ|=t₁，|NQ|=t₂

∴

|MQ|2+|NQ|2

|MQ|2|NQ|2

=

t12+t22

(t1t2)2

=

(t1+t2)2-2t1t2

(t1t2)2

=

( 3cosα-2nsinα sin2α )2-2( n2-3m sin2α )

( n2-3m sin2α )2

=

(3cosα-2nsinα)2-2(n2-3m)sin2α

(n2-3m)2

=

9cos2α-12nsinαcosα+2n2sin2α+6msin2α

(n2-3m)2

=

9-12nsinαcosα+(2n2+6m-9)sin2α

(n2-3m)2

令-12n与2n²+6m-9同时为0，得n=0，m=

3

2

此时

|MQ|2+|NQ|2

|MQ|2|NQ|2

=

4

9

为定值，
即

|MQ|2+|NQ|2

|MQ||NQ|

=

2

3

为定值
∴定点Q的坐标为：(

3

2

，0)

点评：本题的考点是直线的参数方程，考查轨迹方程的求解，考查直线的参数方程，同时考查参数的几何意义，解决恒为定值问题，一般式先把定值探求出来，再求定点的坐标，有难度．