Question

（本题满分12分）设过点的直线分别与轴和轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若且.

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）过的直线与轨迹交于两点，求的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）（，1].

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求动点的轨迹方程的一般步骤：1．建系——建立适当的坐标系．2．设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．3．列式——列出动点P所满足的关系式．4．代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．5．证明——证明所求方程即为符合条件的动点的轨迹方程．

（Ⅱ）与圆锥曲线相关的最值、范围问题综合性较强，解决的思路有两种：一是由题目中的限制条件求范围，如直线与圆锥曲线的位置关系中Δ的范围，方程中变量的范围，角度的大小等；二是将要讨论的几何量如长度、面积、代数式等用参数表示出来，再对表达式进行讨论，应用不等式、三角函数等知识求最值，在解题过程中注意向量，不等式的应用．

试题解析：（1）∵过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，∴Q（-x，y），设A（a， 0），B（0，b），

∵O为坐标原点，∴=（x，y-b），=（a-x，-y），=（-x，y），，

∵且，

∴，

解得点P的轨迹M的方程为．

（2）设过F（2，0）的直线方程为y=kx-2k，

联立，得（3k2+1）x2-12k2x+12k2-3=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，

=（x1-2，y1），=（x2-2，y2），

∴=（x1-2）（x2-2）+y1y2=（1+k2）（x1-2）（x2-2）=（1+k2）[x1x2-2（x1+x2）+4]

=（1+k2）（-+4）==+，

∴当k2→∞的最小值→；当k=0时，的最大值为1．

∴的取值范围是（，1]．

考点：轨迹方程、圆锥曲线中的范围、最值问题