Question

16．已知θ为钝角，且sinθ+cosθ=$\frac{1}{5}$，则tan2θ=（　　）

• A． -$\frac{24}{7}$
• B． $\frac{24}{7}$
• C． -$\frac{7}{24}$
• D． $\frac{7}{24}$

Answer 1

分析 法一：由已知两边平方可解得2sinθcosθ=-$\frac{24}{25}$，由θ∈（$\frac{π}{2}$，π），得到sinθ-cosθ＞0，可得：sinθ-cosθ=$\frac{7}{5}$，从而解得sinθ，cosθ，进而可求tanθ，利用二倍角的正切函数公式即可计算得解．
法二：由θ为钝角，可得：sinθ＞0，cosθ＜0，
又sinθ+cosθ=$\frac{1}{5}$＞0，可得：θ∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），可得：2θ∈（π，$\frac{3π}{2}$），可得：tan2θ＞0，再由sinθ+cosθ=$\frac{1}{5}$，可得sin2θ，进而可求tan2θ．

解答 解：法一：∵sinθ+cosθ=$\frac{1}{5}$①，θ为钝角，
∴两边平方可得：1+2sinθcosθ=$\frac{1}{25}$，可得：2sinθcosθ=-$\frac{24}{25}$，
∵由θ∈（$\frac{π}{2}$，π），得到sinθ-cosθ＞0，可得：sinθ-cosθ=$\sqrt{（sinθ-cosθ）^{2}}$=$\sqrt{1-2sinθcosθ}$=$\frac{7}{5}$，②
∴由①+②可得：sinθ=$\frac{4}{5}$，由①-②可得：cosθ=-$\frac{3}{5}$，
∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=-$\frac{4}{3}$，
∴tan2θ=$\frac{2tanθ}{1-ta{n}^{2}θ}$=$\frac{24}{7}$．
法二：∵θ为钝角，可得：sinθ＞0，cosθ＜0，
又sinθ+cosθ=$\frac{1}{5}$＞0，可得：θ∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），可得：2θ∈（π，$\frac{3π}{2}$），可得：tan2θ＞0，
再由sinθ+cosθ=$\frac{1}{5}$，
∴两边平方可得：1+2sinθcosθ=$\frac{1}{25}$，可得：sin2θ=-$\frac{24}{25}$，
∴tan2θ=$\frac{24}{7}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．