Question

6．已知函数f（x）=lnx+$\frac{2a}{x+1}$，a∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）设m＞n＞0，求证：lnm-lnn＞$\frac{2（m-n）}{m+n}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，问题转化为f′（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立，即2-2a≥-（x+$\frac{1}{x}$），根据函数的单调性求出a的范围即可；
（Ⅱ）由f（x）=lnx+$\frac{4}{x+1}$在（0，+∞）递增，得到f（$\frac{m}{n}$）＞f（1），即ln$\frac{m}{n}$+$\frac{4}{\frac{m}{n}+1}$＞2，整理即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx+$\frac{2a}{x+1}$，
∴f′（x）=$\frac{{x}^{2}+（2-2a）x+1}{{x（x+1）}^{2}}$，
要使函数f（x）在（0，+∞）递增，
只需f′（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立，
∵x（x+1）²＞0，
∴只需x²+（2-2a）x+1≥0在x∈（0，+∞）时恒成立，
由x²+（2-2a）x+1≥0，得2-2a≥-（x+$\frac{1}{x}$），
∵x＞0时，x+$\frac{1}{x}$≥2，∴2-2a≥-2，即a≤2，
故a的范围是（-∞，2]；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=2时，f（x）=lnx+$\frac{4}{x+1}$在（0，+∞）递增，
∵m＞n＞0，∴$\frac{m}{n}$＞1，∴f（$\frac{m}{n}$）＞f（1），
于是ln$\frac{m}{n}$+$\frac{4}{\frac{m}{n}+1}$＞2，
即lnm-lnn＞2-$\frac{4n}{m+n}$，
∴lnm-lnn＞$\frac{2（m-n）}{m+n}$．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．